Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм. На… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Призмы сложная 2023 развёрнутое

Основанием прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ является параллелограмм. На рёбрах $A_{1} B_{1}$ , $B_{1} C_{1}$ , $B C$ отмечены точки $M$ , $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1} K : K C_{1} = 1 : 2$ , а $A M K N$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $3$ .

а) Докажите, что $N$ — середина $B C$ .

б) Найдите площадь трапеции $A M K N$ , если объём призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ равен $12$ , а её высота равна $2$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сначала выясним, какие стороны четырёхугольника $A M K N$ служат основаниями трапеции.

Сечение AMKN — равнобедренная трапеция

Сторона $A M$ лежит в плоскости грани $A B B_{1} A_{1}$ , а сторона $K N$ — в плоскости грани $B C C_{1} B_{1}$ . Эти плоскости пересекаются по прямой $B B_{1}$ .

Предположим, что $A M ∥ K N$ . Тогда прямая $A M$ параллельна прямой $K N$ , лежащей в плоскости $B C C_{1} B_{1}$ , и по признаку параллельности прямой и плоскости $A M ∥ (B C C_{1} B_{1})$ . Плоскость $A B B_{1} A_{1}$ проходит через $A M$ и пересекает плоскость $B C C_{1} B_{1}$ по прямой $B B_{1}$ , значит, $A M ∥ B B_{1}$ . Точно так же $K N ∥ B B_{1}$ . Но отрезки, параллельные боковому ребру и соединяющие плоскости оснований прямой призмы, равны её высоте: $A M = K N = 2$ . Тогда $A M$ и $K N$ — равные основания, а по условию основания равны $2$ и $3$ . Противоречие.

Значит, основания трапеции — $M K$ и $A N$ , то есть

$M K ∥ A N .$

Рассмотрим треугольники $M B_{1} K$ и $A B N$ . Основания призмы лежат в параллельных плоскостях, и их соответственные стороны параллельны: $B_{1} M ∥ B A$ (так как $A_{1} B_{1} ∥ A B$ ), $B_{1} K ∥ B N$ (так как $B_{1} C_{1} ∥ B C$ ), а $M K ∥ A N$ мы уже доказали. Углы $M B_{1} K$ и $A B N$ равны как углы с соответственно сонаправленными сторонами, углы $B_{1} K M$ и $B N A$ — по той же причине. Значит, треугольники подобны по двум углам:

$△ M B_{1} K \sim △ A B N, \frac{M K}{A N} = \frac{B _{1} M}{B A} = \frac{B _{1} K}{B N} .$

Точка $M$ лежит на ребре $A_{1} B_{1}$ , поэтому $B_{1} M ⩽ A_{1} B_{1} = A B$ , и коэффициент подобия не больше $1$ . Следовательно, $M K$ — меньшее основание: $M K = 2$ , $A N = 3$ , а коэффициент подобия равен $\frac{2}{3}$ .

По условию $B_{1} K : K C_{1} = 1 : 2$ . Обозначим

$B_{1} K = x, K C_{1} = 2 x, B_{1} C_{1} = 3 x .$

Боковая грань $B C C_{1} B_{1}$ — параллелограмм (в прямой призме — прямоугольник), поэтому $B C = B_{1} C_{1} = 3 x$ .

Из подобия получаем

$\frac{B _{1} K}{B N} = \frac{M K}{A N} = \frac{2}{3} \Rightarrow B N = \frac{3}{2} B_{1} K = \frac{3 x}{2} .$

Тогда

$N C = B C - B N = 3 x - \frac{3 x}{2} = \frac{3 x}{2} = B N .$

Значит, $N$ — середина $B C$ , что и требовалось доказать.

б) Найдём площадь основания призмы через объём и высоту:

$S_{A B C D} = \frac{V}{h} = \frac{12}{2} = 6.$

Диагональ $A C$ делит параллелограмм на два равных треугольника, а медиана $A N$ делит треугольник $A B C$ на два равновеликих. Поэтому

$S_{△ A B N} = \frac{1}{2} S_{△ A B C} = \frac{1}{4} S_{A B C D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} .$

Опустим в плоскости основания перпендикуляр $B H$ на прямую $A N$ . Из формулы площади треугольника

$S_{△ A B N} = \frac{1}{2} \cdot A N \cdot B H \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot B H = \frac{3}{2} \Rightarrow B H = 1.$

Рисунок к решению

Продолжим боковые стороны $A M$ и $N K$ трапеции до пересечения в точке $T$ . Прямая $A M$ лежит в плоскости $A B B_{1} A_{1}$ , прямая $N K$ — в плоскости $B C C_{1} B_{1}$ , поэтому точка $T$ принадлежит обеим плоскостям, то есть лежит на прямой их пересечения $B B_{1}$ . Боковые стороны трапеции сходятся со стороны меньшего основания $M K$ , поэтому точка $B_{1}$ лежит между $T$ и $B$ .

Так как $B_{1} K ∥ B N$ , треугольники $T B_{1} K$ и $T B N$ подобны:

$\frac{T B _{1}}{T B} = \frac{B _{1} K}{B N} = \frac{2}{3} \Rightarrow T B_{1} = \frac{2}{3} T B .$

При этом $T B - T B_{1} = B B_{1} = 2$ , откуда

$T B - \frac{2}{3} T B = 2 \Rightarrow \frac{1}{3} T B = 2 \Rightarrow T B = 6.$

Прямая $T B$ совпадает с прямой бокового ребра $B B_{1}$ и перпендикулярна плоскости основания. Значит, $T B$ — перпендикуляр к плоскости $A B C$ , $T H$ — наклонная, а $B H$ — её проекция. Так как $B H ⊥ A N$ , по теореме о трёх перпендикулярах $T H ⊥ A N$ . Таким образом, $T H$ — высота треугольника $T A N$ .

Из прямоугольного треугольника $T B H$ ( $∠ T B H = 9 0^{\circ}$ ) по теореме Пифагора

$T H = T B^{2} + B H^{2} = 36 + 1 = 37 .$

Тогда

$S_{△ T A N} = \frac{1}{2} \cdot A N \cdot T H = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 37 = \frac{3 37}{2} .$

Так как $M K ∥ A N$ , треугольник $T M K$ подобен треугольнику $T A N$ с коэффициентом $\frac{M K}{A N} = \frac{2}{3}$ . Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$S_{△ T M K} = (\frac{2}{3})^{2} S_{△ T A N} = \frac{4}{9} S_{△ T A N} .$

Трапеция — это треугольник $T A N$ без треугольника $T M K$ :

$S_{A M K N} = S_{△ T A N} - S_{△ T M K} = \frac{5}{9} S_{△ T A N} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3 37}{2} = \frac{5 37}{6} .$

Ответ: б) $\frac{5 37}{6}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — призмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15