Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

Плоскость $α$ перпендикулярна плоскости основания $A B C D$ правильной четырёхугольной пирамиды $S A B C D$ и пересекает ребро $S A$ в точке $K .$ Сечение пирамиды плоскостью $α$ является правильным треугольником площадью $23 .$

а) Докажите, что плоскость $α$ перпендикулярна прямой $A C .$

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $S A,$ считая от точки $S,$ если объём пирамиды равен $366 ?$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $O$ — центр квадрата $A B C D$ . Пирамида правильная, поэтому $S O$ — её высота, $S O ⊥ (A B C)$ . Сечение — правильный треугольник $K L P$ , где $L$ и $P$ лежат на сторонах $A B$ и $A D$ основания.

В плоскости $S A C$ проведём $K K_{1} ∥ S O$ , $K_{1} \in A C$ . Прямая, параллельная перпендикуляру к плоскости, тоже перпендикулярна этой плоскости, поэтому $K K_{1} ⊥ (A B C)$ . Плоскость $α$ перпендикулярна основанию и проходит через $K$ , поэтому перпендикуляр $K K_{1}$ к основанию лежит в $α$ . Значит, точка $K_{1}$ лежит на линии пересечения $α$ с основанием, то есть на прямой $L P$ .

Так как $K K_{1} ⊥ (A B C)$ , имеем $K K_{1} ⊥ L P$ , то есть $K K_{1}$ — высота правильного треугольника $K L P$ . В правильном треугольнике высота является медианой: $L K_{1} = K_{1} P$ .

В треугольнике $A L P$ отрезок $A K_{1}$ — медиана. Он лежит на диагонали $A C$ квадрата, а диагональ квадрата — биссектриса его угла, поэтому $A K_{1}$ — и биссектриса. Треугольник, в котором медиана совпадает с биссектрисой, равнобедренный: $A L = A P$ . В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому $A C ⊥ L P$ .

Итак, прямая $A C$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $L P$ и $K K_{1}$ плоскости $α$ (вторая — потому что $K K_{1} ⊥ (A B C)$ ). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $A C ⊥ α$ . Что и требовалось доказать.

б) Пусть $a$ — сторона правильного треугольника $K L P$ . По формуле площади правильного треугольника

$\frac{a ^{2} 3}{4} = 23 \Rightarrow a^{2} = 8 \Rightarrow a = 22 .$

Высота этого треугольника

$K K_{1} = \frac{a 3}{2} = \frac{2 2 \cdot 3}{2} = 6 .$

Треугольник $A L P$ прямоугольный ( $∠ L A P = 9 0^{\circ}$ ), и $A K_{1}$ — его медиана к гипотенузе, поэтому $A K_{1} = \frac{1}{2} L P = 2$ .

Обозначим $k = \frac{A S}{A K}$ . Треугольники $A K K_{1}$ и $A S O$ подобны (угол $A$ общий, $K K_{1} ∥ S O$ ) с коэффициентом $k$ , поэтому

$S O = k \cdot K K_{1} = k 6, A O = k \cdot A K_{1} = k 2 .$

Тогда диагональ основания $A C = 2 A O = 2 k 2$ , а площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали:

$S_{A B C D} = \frac{A C ^{2}}{2} = \frac{8 k ^{2}}{2} = 4 k^{2} .$

По условию объём пирамиды равен $366$ :

$\frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot 4 k^{2} \cdot k 6 = \frac{4 6}{3} k^{3} = 366 \Rightarrow k^{3} = 27 \Rightarrow k = 3.$

Значит, $A S = 3 A K$ , откуда $S K = A S - A K = 2 A K$ и

$S K : K A = 2 : 1.$

Ответ: б) $2 : 1$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15