В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA=8. На… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды сложная 2019 развёрнутое

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ сторона основания $A B$ равна 4, а боковое ребро $S A = 8.$ На рёбрах $C D$ и $S C$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём $D N : N C = S K : K C = 1 : 3.$ Плоскость $α$ содержит прямую $K N$ и параллельна прямой $B C .$

a) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A B$ в отношении $1 : 3,$ считая от вершины $A .$

б) Найдите расстояние между прямыми $S A$ и $K N .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть плоскость $α$ пересекает ребро $A B$ в точке $M$ . Плоскость $α$ параллельна прямой $B C$ , а плоскость $A B C$ проходит через $B C$ и имеет с $α$ общую точку $N$ . Значит, они пересекаются по прямой, проходящей через $N$ и параллельной $B C$ , то есть $M N ∥ B C$ .

В квадрате $A B C D$ имеем $M B ∥ N C$ и $M N ∥ B C$ , поэтому $M B C N$ — параллелограмм (даже прямоугольник), и $B M = C N$ . Так как $A B = C D$ ,

$A M = A B - B M = C D - C N = D N,$

и $A M : M B = D N : N C = 1 : 3$ . Что и требовалось доказать.

б) В треугольнике $S C D$ по условию $C K : K S = C N : N D = 3 : 1$ , поэтому по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $K N ∥ S D$ . Кроме того, $M N ∥ B C ∥ A D$ .

Две пересекающиеся прямые $K N$ и $M N$ плоскости $α$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $S D$ и $A D$ плоскости $S A D$ . По признаку параллельности плоскостей $α ∥ (S A D)$ .

Скрещивающиеся прямые $K N$ и $S A$ лежат в параллельных плоскостях $α$ и $S A D$ , поэтому расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями.

Пусть $P$ и $H$ — середины $A D$ и $B C$ . Треугольник $S A D$ равнобедренный ( $S A = S D$ ), поэтому медиана $S P$ является высотой: $S P ⊥ A D$ . Отрезок $H P$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому $H P ∥ A B$ и $H P ⊥ A D$ . Прямая $A D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $S P$ и $H P$ , значит, $A D ⊥ (S P H)$ .

В треугольнике $S P H$ проведём высоту $H T$ . Она лежит в плоскости $S P H$ , поэтому $H T ⊥ A D$ ; кроме того, $H T ⊥ S P$ . Значит, $H T ⊥ (S A D)$ , и $H T$ — расстояние от $H$ до плоскости $S A D$ .

Пусть $Q$ — точка пересечения $M N$ и $H P$ ; она лежит в плоскости $α$ , поэтому расстояние между плоскостями равно расстоянию от $Q$ до плоскости $S A D$ . Четырёхугольник $B M Q H$ — прямоугольник, поэтому $H Q = B M = 3$ , $QP = A M = 1$ и $P Q : P H = 1 : 4$ .

В плоскости $S P H$ проведём $Q Q^{'} ∥ H T$ , $Q^{'} \in S P$ . Тогда $Q Q^{'} ⊥ (S A D)$ , и треугольник $P Q Q^{'}$ подобен треугольнику $P H T$ с коэффициентом $\frac{P Q}{P H} = \frac{1}{4}$ . Значит, искомое расстояние

$Q Q^{'} = \frac{1}{4} H T .$

Найдём $H T$ . Отрезки $S P$ и $S H$ — апофемы, высоты равных равнобедренных треугольников $S A D$ и $S B C$ :

$S P = S H = S A^{2} - (\frac{A D}{2})^{2} = 64 - 4 = 60 = 215 .$

Пусть $O$ — центр квадрата, тогда $S O$ — высота пирамиды, а $O$ — середина $P H$ . Половина диагонали квадрата $A O = \frac{4 2}{2} = 22$ , поэтому

$S O = S A^{2} - A O^{2} = 64 - 8 = 56 = 214 .$

Площадь треугольника $S P H$ найдём двумя способами — через основание $P H = 4$ и высоту $S O$ , и через основание $S P$ и высоту $H T$ :

$\frac{1}{2} \cdot P H \cdot S O = \frac{1}{2} \cdot S P \cdot H T \Rightarrow H T = \frac{P H \cdot S O}{S P} = \frac{4 \cdot 2 14}{2 15} = \frac{4 14}{15} = \frac{4 210}{15} .$

Тогда расстояние между прямыми $S A$ и $K N$ равно

$\frac{1}{4} H T = \frac{210}{15} .$

Ответ: б) $\frac{210}{15}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15