ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Разбор — 3 балла

а) Так как $KLMN$ — квадрат, $KN\parallel LM$, $KL\parallel NM$, $KL\perp KN$ и все его стороны равны $2$.

Докажем, что $KN\parallel AB$. Прямая $KN$ лежит в плоскости $ABC$, прямая $LM$ — в плоскости $ABD$. Прямая $KN$ параллельна прямой $LM$ плоскости $ABD$ и не лежит в этой плоскости, поэтому $KN\parallel (ABD)$. Плоскость $ABC$ проходит через $KN$ и пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AB$, значит, $AB\parallel KN$. Итак, $KN\parallel AB\parallel LM$.

Точно так же $KL$ лежит в плоскости $ACD$, $MN$ — в плоскости $BCD$, и $KL\parallel MN$. Тогда $KL\parallel (BCD)$, и плоскость $ACD$ пересекает плоскость $BCD$ по прямой $CD$, параллельной $KL$. Итак, $KL\parallel CD\parallel MN$.

В треугольнике $ACD$ прямая $KL$ параллельна $CD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $AL:LD=AK:KC=2:3$. В треугольнике $ABD$ прямая $LM$ параллельна $AB$, поэтому

$$BM:MD=AL:LD=2:3.$$

Что и требовалось доказать.

б) Так как $KL\perp KN$, $KL\parallel CD$ и $KN\parallel AB$, угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $90^{\circ }$: $AB\perp CD$.

Найдём длины рёбер. Треугольник $AKL$ подобен треугольнику $ACD$ (угол $A$ общий, $KL\parallel CD$):

$$\frac{KL}{CD}=\frac{AK}{AC}=\frac{2}{5}\Rightarrow CD=\frac{5}{2}\cdot 2=5.$$

Треугольник $CKN$ подобен треугольнику $CAB$ (угол $C$ общий, $KN\parallel AB$):

$$\frac{KN}{AB}=\frac{CK}{CA}=\frac{3}{5}\Rightarrow AB=\frac{5}{3}\cdot 2=\frac{10}{3}.$$

В плоскости $ABD$ опустим перпендикуляр $DH$ на прямую $AB$. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $CD$, поэтому $AB\perp (CDH)$. Плоскость $CDH$ разбивает тетраэдр на тетраэдры $ACDH$ и $BCDH$ с общим основанием $CDH$ и высотами $AH$ и $BH$:

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{CDH}\cdot AH+\frac{1}{3}\cdot S_{CDH}\cdot BH=\frac{1}{3}\cdot S_{CDH}\cdot AB.$$

(Если точка $H$ лежит вне отрезка $AB$, объём равен разности этих объёмов, и результат тот же.)

В плоскости $CDH$ опустим перпендикуляр $HP$ на прямую $CD$. Тогда $S_{CDH}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot HP$ и

$$V_{ABCD}=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot CD\cdot HP\Rightarrow HP=\frac{6V_{ABCD}}{AB\cdot CD}=\frac{6\cdot 25}{\frac{10}{3}\cdot 5}=9.$$

Прямая $HP$ перпендикулярна $CD$ по построению и перпендикулярна $AB$, так как лежит в плоскости $CDH$, перпендикулярной $AB$. Значит, $HP\perp KL$ и $HP\perp KN$, а $KL$ и $KN$ — пересекающиеся прямые плоскости $KLM$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $HP\perp (KLM)$.

Прямая $CD$ параллельна прямой $KL$ плоскости $KLM$, поэтому $CD\parallel (KLM)$, и все точки прямой $CD$ удалены от этой плоскости одинаково. Значит, расстояние от $C$ до плоскости $KLM$ равно расстоянию от точки $P$. Пусть $HP$ пересекает плоскость $KLM$ в точке $O$; так как $HP\perp (KLM)$, это расстояние равно $PO$.

Найдём, где лежит точка $O$. В плоскости $ABC$ прямая $CH$ пересекает $KN$ в точке $R$. Треугольник $CKR$ подобен треугольнику $CAH$ ($KR\parallel AH$), поэтому

$$\frac{CR}{CH}=\frac{CK}{CA}=\frac{3}{5}\Rightarrow HR:RC=2:3.$$

Точка $R$ — общая точка плоскостей $CDH$ и $KLM$. Плоскость $CDH$ проходит через прямую $CD$, параллельную плоскости $KLM$, поэтому пересекает её по прямой $RO$, параллельной $CD$. В плоскости $CDH$ прямая $RO$ параллельна $CP$, и по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{HO}{OP}=\frac{HR}{RC}=\frac{2}{3}\Rightarrow PO=\frac{3}{5}HP=\frac{3}{5}\cdot 9=\frac{27}{5}=5,4.$$

Ответ: б) $5,4$.