В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=5 и BC=12… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2024 развёрнутое

В основании четырёхугольной пирамиды $S A B C D$ лежит прямоугольник $A B C D$ со сторонами $A B = 5$ и $B C = 12.$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A = 214,$ $S B = 9$ и $S D = 102 .$

а) Докажите, что $S A$ — высота пирамиды $S A B C D .$

б) Найдите угол между прямыми $S C$ и $B D .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Сравним квадраты сторон треугольника $S A B$ :

$S B^{2} = 81, A B^{2} + S A^{2} = 25 + 56 = 81.$

Так как $S B^{2} = A B^{2} + S A^{2}$ , по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $S A B$ прямоугольный с прямым углом $A$ : $S A ⊥ A B$ .

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $A D = B C = 12$ . Для треугольника $S A D$ :

$S D^{2} = 200, A D^{2} + S A^{2} = 144 + 56 = 200.$

Значит, и треугольник $S A D$ прямоугольный с прямым углом $A$ : $S A ⊥ A D$ .

Прямая $S A$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $A B$ и $A D$ плоскости основания, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $S A ⊥ (A B C)$ . Значит, $S A$ — высота пирамиды. Что и требовалось доказать.

Рисунок к решению

б) Найдём диагональ основания из прямоугольного треугольника $A C D$ :

$A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} = 144 + 25 = 169 \Rightarrow A C = 13.$

Так как $S A ⊥ (A B C)$ , имеем $S A ⊥ A C$ , и из прямоугольного треугольника $S A C$ :

$S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} = 56 + 169 = 225 \Rightarrow S C = 15.$

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника (середина $A C$ и $B D$ ), $M$ — середина $S A$ . Тогда $M O$ — средняя линия треугольника $A S C$ :

$M O ∥ S C, M O = \frac{1}{2} S C = \frac{15}{2} .$

Прямые $M O$ и $B D$ пересекаются в точке $O$ , а $M O ∥ S C$ , поэтому угол между прямыми $S C$ и $B D$ равен углу между прямыми $M O$ и $B D$ . Найдём его из треугольника $M O D$ .

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $O D = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A C = \frac{13}{2}$ . Кроме того, $A M = \frac{1}{2} S A = 14$ и $M A ⊥ A D$ , поэтому

$M D^{2} = A M^{2} + A D^{2} = 14 + 144 = 158.$

По теореме косинусов в треугольнике $M O D$ :

$cos ∠ M O D = \frac{M O ^{2} + O D ^{2} - M D ^{2}}{2 \cdot M O \cdot O D} = \frac{\frac{225}{4} + \frac{169}{4} - 158}{2 \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{13}{2}} = \frac{\frac{394 - 632}{4}}{\frac{195}{2}} = - \frac{238}{390} = - \frac{119}{195} .$

Косинус отрицателен, значит, угол $M O D$ тупой. Угол между прямыми не превосходит $9 0^{\circ}$ , поэтому он равен смежному углу $18 0^{\circ} - ∠ M O D$ , косинус которого равен $\frac{119}{195}$ .

Итак, угол между прямыми $S C$ и $B D$ равен $arccos \frac{119}{195}$ .

Ответ: б) $arccos \frac{119}{195}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15