На ребрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что AM:MB=BL:LC=AN:ND=1:4. а)… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2025 развёрнутое

На ребрах $B C,$ $A B$ и $A D$ правильного тетраэдра $A B C D$ отмечены точки $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $A M : M B = B L : L C = A N : N D = 1 : 4.$

а) Докажите, что плоскость $α,$ проходящая через точки $L,$ $M$ и $N,$ делит ребро $C D$ в отношении $4 : 1,$ считая от вершины $C .$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $A B C D$ плоскостью $α,$ если $A B = 10.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $A M : M B = A N : N D = 1 : 4$ , поэтому

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{5} .$

Треугольники $A M N$ и $A B D$ подобны по двум сторонам и углу между ними (угол $A$ общий), значит, $∠ A M N = ∠ A B D$ . Это соответственные углы при прямых $M N$ , $B D$ и секущей $A B$ , поэтому $M N ∥ B D$ .

Прямая $M N$ параллельна прямой $B D$ , лежащей в плоскости $B C D$ , и сама в этой плоскости не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $M N ∥ (B C D)$ .

Плоскость $α$ проходит через прямую $M N$ , параллельную плоскости $B C D$ , и имеет с плоскостью $B C D$ общую точку $L$ . Значит, $α$ пересекает плоскость $B C D$ по прямой, проходящей через $L$ и параллельной $M N$ . Пусть эта прямая пересекает ребро $C D$ в точке $K$ . Тогда $L K ∥ M N ∥ B D$ .

В треугольнике $C B D$ прямая $L K$ параллельна стороне $B D$ , поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

$C K : K D = C L : L B = 4 : 1.$

Что и требовалось доказать.

б) Тетраэдр правильный, поэтому все его рёбра равны $10$ , а все грани — равносторонние треугольники. Из отношений $1 : 4$ получаем

$A M = A N = B L = K D = 2, M B = N D = L C = C K = 8.$

Сечение тетраэдра плоскостью $α$ — четырёхугольник $M N K L$ : его стороны $M N$ , $N K$ , $K L$ , $L M$ лежат в гранях $A B D$ , $A C D$ , $B C D$ , $A B C$ .

Треугольник $A M N$ подобен треугольнику $A B D$ с коэффициентом $\frac{A M}{A B} = \frac{1}{5}$ , поэтому

$M N = \frac{1}{5} B D = 2.$

Треугольник $C L K$ подобен треугольнику $C B D$ (так как $L K ∥ B D$ ) с коэффициентом $\frac{C L}{C B} = \frac{4}{5}$ , поэтому

$L K = \frac{4}{5} B D = 8.$

Итак, $M N ∥ L K$ и $M N \neq = L K$ , значит, $M N K L$ — трапеция с основаниями $M N = 2$ и $L K = 8$ .

Сравним боковые стороны. В треугольниках $M B L$ и $N D K$ : $M B = N D = 8$ , $B L = D K = 2$ , $∠ M B L = ∠ N D K = 6 0^{\circ}$ (углы равносторонних граней). Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $M L = N K$ , и трапеция равнобедренная.

По теореме косинусов в треугольнике $N D K$ :

$N K^{2} = N D^{2} + D K^{2} - 2 \cdot N D \cdot D K \cdot cos 6 0^{\circ} = 64 + 4 - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 52.$

Проведём высоты $M R$ и $N T$ трапеции к основанию $L K$ . В равнобедренной трапеции

$L R = T K = \frac{L K - M N}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3.$

Из прямоугольного треугольника $M R L$ по теореме Пифагора:

$M R = M L^{2} - L R^{2} = 52 - 9 = 43 .$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$S_{M N K L} = \frac{M N + L K}{2} \cdot M R = \frac{2 + 8}{2} \cdot 43 = 543 .$

Ответ: б) $543$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15