Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB=6 и AA₁=3… — 15 задание ЕГЭ профиль

№15 Пирамиды средняя 2020 развёрнутое

Дана правильная треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ в которой $A B = 6$ и $A A_{1} = 3.$ Точки $O$ и $O_{1}$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ соответственно. На ребре $C C_{1}$ отмечена точка $M$ такая, что $C M = 1.$

a) Докажите, что прямая $O O_{1}$ содержит точку пересечения медиан треугольника $A B M .$

б) Найдите объем пирамиды $A B M C_{1} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Пусть $N$ — середина $A B$ , а $G$ — точка пересечения медиан треугольника $A B M$ . Отрезок $M N$ — медиана этого треугольника, а медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины:

$M G : GN = 2 : 1.$

Треугольник $A B C$ правильный, поэтому центр описанной около него окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Значит, $O$ лежит на медиане $C N$ и

$C O : O N = 2 : 1.$

Рассмотрим треугольник $C M N$ (точка $M$ не лежит на прямой $C N$ , так как $C M = 1$ и $M$ не лежит в плоскости основания). На его сторонах $N M$ и $N C$ лежат точки $G$ и $O$ , причём

$\frac{N G}{N M} = \frac{N O}{N C} = \frac{1}{3} .$

По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $O G ∥ C M$ .

Призма правильная, поэтому её верхнее основание получается из нижнего параллельным переносом на вектор $C C_{1}$ . При этом центр $O$ описанной окружности треугольника $A B C$ переходит в центр $O_{1}$ описанной окружности треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ , значит, $O O_{1} ∥ C C_{1}$ .

Прямые $O G$ и $O O_{1}$ проходят через точку $O$ и обе параллельны прямой $C C_{1}$ (на которой лежит $C M$ ). Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямые $O G$ и $O O_{1}$ совпадают, и $G \in O O_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Точка $M$ лежит на ребре $C C_{1}$ между $C$ и $C_{1}$ ( $C M = 1 < C C_{1} = 3$ ). Плоскость $A B M$ разбивает тетраэдр $A B C C_{1}$ на два тетраэдра: $A B C M$ и $A B M C_{1}$ . Поэтому

$V_{A B M C_{1}} = V_{A B C C_{1}} - V_{A B C M} .$

У обоих тетраэдров $A B C C_{1}$ и $A B C M$ основание — треугольник $A B C$ . Ребро $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому их высоты равны $C C_{1} = A A_{1} = 3$ и $C M = 1$ .

Площадь правильного треугольника со стороной $6$ :

$S_{A B C} = \frac{A B ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93 .$

Рисунок к решению

Тогда

$V_{A B M C_{1}} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot C C_{1} - \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot C M = \frac{1}{3} \cdot 93 \cdot (3 - 1) = 63 .$

Проверим другим способом. Примем за основание треугольник $B M C_{1}$ в грани $B C C_{1} B_{1}$ . Так как $B C ⊥ C C_{1}$ , отрезок $B C = 6$ — высота этого треугольника к стороне $M C_{1} = 2$ , и $S_{B M C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$ . Плоскость $B C C_{1}$ перпендикулярна основанию, поэтому расстояние от $A$ до неё равно высоте правильного треугольника $A B C$ , то есть $33$ . Получаем $V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 33 = 63$ — то же самое.

Ответ: б) $63$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №15 — пирамиды

Сообщить об ошибке

Ещё задания №15