Пробный вариант №1

Часть 1

1. 1

   Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $65^{\circ }$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Ответ:
2. 2

   Даны векторы $\vec{a}\left(5;4\right)$ и $\vec{b}\left(8;-9\right)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Ответ:
3. 3

   Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

   

   Ответ:
4. 4

   Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

   Ответ:
5. 5

   Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

   Ответ:
6. 6

   Организаторы лотереи выпустили $10000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

   $$\begin{array}{lccccc}\text{Выигрыш (в рублях)}& 100& 1000& 5000& 10000& 50000\\ \text{Число выигрышных билетов}& 500& 100& 50& 10& 1\end{array}$$

   Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

   Ответ:
7. 7

   Найдите корень уравнения $2^{x-3}=\frac{1}{16}$.

   Ответ:
8. 8

   Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\sin \frac{3\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{8}$.

   Ответ:
9. 9

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

   

   Ответ:
10. 10

    Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/{\text{ч}}^2$.

    Ответ:
11. 11

    Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 10 часов. Ответ дайте в км/ч.

    Ответ:
12. 12

    На рисунке изображён график функции $f(x)=-2x^2+bx+c.$ Найдите значение $f(-2).$

    

    Ответ:
13. 13

    В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

    – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

    – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375000 рублей?

    Ответ:

Часть 2

1. 14

   а) Решите уравнение

   $$2\sin (x+\frac{\pi }{6})-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}.$$

   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi }{2};-\pi ]$.

2. 15

   В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS$.

   а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.

   б) Найдите отношение $BL:LC$.

3. 16

   Решите неравенство $3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}+x^4-10\ge 0$.

4. 17

   На заводе имеется генератор с ЭДС $\epsilon =50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\frac{\epsilon }{r+R}$. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля–Ленца: $P=I^{2}R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

5. 18

   Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.

   а) Докажите, что $\angle OAC=45^{\circ }$.

   б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.

6. 19

   Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

   $${(3x+|x-a|+|2x+a+1|)}^2-a(3x+|x-a|+|2x+a+1|)+a^2-16=0$$

   имеет ровно один корень.

7. 20

   На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1+1+111+11+11+1=136$.

   а) Можно ли получить сумму 113, если $n=50$?

   б) Можно ли получить сумму 114, если $n=50$?

   в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n=50$?