Пробный вариант №1

Часть 1

1. 1

   Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $65^{\circ }$. Найдите величину угла между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведёнными из вершины прямого угла $C$. Ответ дайте в градусах.

   

   Решение

   В прямоугольном треугольнике $ABC$ прямой угол расположен при вершине $C$, а высота $CH$ и медиана $CM$ проведены из этой же вершины к гипотенузе $AB$.

   Рассмотрим треугольник $BCH$: он прямоугольный, так как высота перпендикулярна гипотенузе, то есть $\angle CHB=90^{\circ }$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }$, поэтому

   $$\angle BCH=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }.$$

   Точка $M$ — середина гипотенузы, поэтому медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: $CM=AM=BM$. Значит, треугольник $BCM$ равнобедренный, и углы при основании, лежащие против равных сторон, равны между собой. Угол, лежащий против стороны $CM$, — это угол $MBC$, то есть угол $B$ самого треугольника $ABC$; угол, лежащий против стороны $BM$, — это угол $BCM$. Поэтому

   $$\angle BCM=\angle B=65^{\circ }.$$

   

   Угол $A=90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }$ меньше угла $B$, поэтому основание высоты $H$ лежит ближе к вершине $B$, чем середина $M$, то есть луч $CH$ проходит внутри угла $BCM$. Значит, искомый угол между высотой и медианой равен разности:

   $$\angle HCM=\angle BCM-\angle BCH=65^{\circ }-25^{\circ }=40^{\circ }.$$

   Ответ: $40$.

   Ответ: 40
2. 2

   Даны векторы $\vec{a}\left(5;4\right)$ и $\vec{b}\left(8;-9\right)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

   Решение

   Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1;y_1)$ и $\vec{b}(x_2;y_2)$ равно $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. Подставим координаты $\vec{a}(5;4)$ и $\vec{b}(8;-9)$:

   $$\vec{a}\cdot \vec{b}=5\cdot 8+4\cdot (-9)=40-36=4.$$

   Ответ: $4$.

   Ответ: 4
3. 3

   Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

   

   Решение

   Если шар вписан в цилиндр, радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $H=2R$.

   

   Объём шара:

   $$V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3=18\Rightarrow \pi R^3=\frac{3}{4}\cdot 18=13,5.$$

   Объём цилиндра:

   $$V_{\text{ц}}=\pi R^{2}H=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3=2\cdot 13,5=27.$$

   Ответ: $27$.

   Ответ: 27
4. 4

   Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 75 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

   Решение

   Из общего числа сумок вычтем дефектные — получим число исправных:

   $$75-6=69.$$

   Любая из 75 сумок может быть куплена с одинаковой вероятностью, поэтому

   $$P=\frac{69}{75}=\frac{23}{25}=0,92.$$

   Ответ: $0,92$.

   Ответ: 0,92
5. 5

   Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

   Решение

   Вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,7, значит, вероятность промаха равна $1-0,7=0,3$.

   Выстрелы по разным мишеням независимы, поэтому вероятность события «попал в первую мишень и промахнулся по трём последним» равна произведению вероятности попадания по первой мишени на вероятности промаха по трём оставшимся:

   $$P=0,7\cdot 0,3\cdot 0,3\cdot 0,3=0,7\cdot 0,3^3=0,0189.$$

   Ответ: $0,0189$.

   Ответ: 0,0189
6. 6

   Организаторы лотереи выпустили $10000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

   $$\begin{array}{lccccc}\text{Выигрыш (в рублях)}& 100& 1000& 5000& 10000& 50000\\ \text{Число выигрышных билетов}& 500& 100& 50& 10& 1\end{array}$$

   Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

   Решение

   Обозначим через $X$ случайную величину «выигрыш на один билет». Вероятность выпадения конкретного выигрыша равна числу билетов с этим выигрышем, делённому на общее количество билетов — $10000$. У билетов без выигрыша значение $X$ равно нулю, и соответствующее слагаемое в сумме для математического ожидания равно нулю, поэтому его можно не выписывать.

   По формуле математического ожидания дискретной случайной величины $\mathrm{E}(X)=\sum x_i{p}_i$ получаем:

   $$\mathrm{E}(X)=100\cdot \frac{500}{10000}+1000\cdot \frac{100}{10000}+5000\cdot \frac{50}{10000}+10000\cdot \frac{10}{10000}+50000\cdot \frac{1}{10000}.$$

   Знаменатель у всех слагаемых одинаков, поэтому сначала сложим числители, а затем один раз разделим на $10000$:

   $$\mathrm{E}(X)=\frac{100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10000\cdot 10+50000\cdot 1}{10000}=\frac{550000}{10000}=55.$$

   Ответ: $55$.

   Ответ: 55
7. 7

   Найдите корень уравнения $2^{x-3}=\frac{1}{16}$.

   Решение

   В уравнении $2^{x-3}=\frac{1}{16}$ представим правую часть как степень с основанием 2: так как $2^4=16$, то $\frac{1}{16}=2^{-4}$. Получаем

   $$2^{x-3}=2^{-4}.$$

   Приравниваем показатели:

   $$\begin{gathered} x-3=-4, \\ x=3-4=-1. \end{gathered}$$

   Ответ: $-1$.

   Ответ: -1
8. 8

   Найдите значение выражения $5\sqrt{2}\sin \frac{3\pi }{8}\cdot \cos \frac{3\pi }{8}$.

   Решение

   Домножим и разделим выражение на $2$, чтобы получить формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$:

   $$5\sqrt{2}\sin \frac{3\pi }{8}\cos \frac{3\pi }{8}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot 2\sin \frac{3\pi }{8}\cos \frac{3\pi }{8}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\sin \frac{3\pi }{4}.$$

   Так как $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим это значение:

   $$\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot 2}{4}=2,5.$$

   Ответ: $2,5$.

   Ответ: 2,5
9. 9

   На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

   

   Решение

   Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

   Касательная проходит через точки $(-3;-4)$ и $(3;5)$.

   

   $$f^{\prime }(x_0)=\frac{5-(-4)}{3-(-3)}=\frac{9}{6}=1,5.$$

   Ответ: $1,5$.

   Ответ: 1,5
10. 10

    Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ (в $\text{км}/{\text{ч}}^2$ ). Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в $\text{км}/{\text{ч}}^2$.

    Решение

    Скорость при разгоне с ускорением $a$ на пути $l$ задана формулой $v=\sqrt{2la}$. Подставим $v=120$ км/ч, $l=1$ км:

    $$120=\sqrt{2\cdot 1\cdot a}.$$

    Возведём обе части в квадрат (обе части неотрицательны, поэтому это равносильный переход):

    $$120^2=2a,14400=2a.$$

    Отсюда

    $$a=\frac{14400}{2}=7200.$$

    Ответ: $7200$.

    Ответ: 7200
11. 11

    Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 10 часов. Ответ дайте в км/ч.

    Решение

    Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x>4$. По течению скорость теплохода равна $(x+4)$ км/ч, против течения — $(x-4)$ км/ч. Время движения по течению равно $\frac{48}{x+4}$ ч, против течения — $\frac{48}{x-4}$ ч.

    Теплоход вернулся через 10 часов после выхода, из них 5 часов — стоянка, значит, на движение ушло $10-5=5$ часов:

    $$\frac{48}{x+4}+\frac{48}{x-4}=5.$$

    Приведём левую часть к общему знаменателю:

    $$\frac{48(x-4)+48(x+4)}{x^2-16}=5;$$

    $$\frac{96x}{x^2-16}=5,$$

    откуда

    $$96x=5(x^2-16);$$

    $$5x^2-96x-80=0.$$

    Дискриминант $D=9216+1600=10816=104^2$, корни:

    $$x_1=\frac{96+104}{10}=20,x_2=\frac{96-104}{10}=-0,8.$$

    Так как $x>4$, подходит $x=20$.

    Ответ: $20$.

    Ответ: 20
12. 12

    На рисунке изображён график функции $f(x)=-2x^2+bx+c.$ Найдите значение $f(-2).$

    

    Решение

    График функции $f(x)=-2x^2+bx+c$ проходит через точку $(0;4)$. При $x=0$ значение функции равно $c$, поэтому $c=4$.

    График также проходит через точку $(1;6)$. Подставим $x=1$:

    $$f(1)=-2\cdot 1^2+b\cdot 1+4=6,-2+b+4=6,b=4.$$

    Значит,

    $$f(x)=-2x^2+4x+4.$$

    Найдём $f(-2)$:

    $$f(-2)=-2\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2)+4=-2\cdot 4-8+4=-8-8+4=-12.$$

    Ответ: $-12$.

    Ответ: -12
13. 13

    В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

    – каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

    – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375000 рублей?

    Решение

    Обозначим сумму кредита $S$ рублей, платёж в 2026, 2027, 2028 и 2029 годах — $x$ рублей (кредит взят в июле 2025 года), $k=1+\frac{25}{100}=\frac{5}{4}$.

    Из общей суммы выплат находим платёж: $4x=375000$, то есть $x=93750$ рублей.

    $$\begin{array}{lcccc}\text{Год}& \text{Долг до \%}& \text{Долг после \%}& \text{Платёж}& \text{Долг после платежа}\\ 2026& S& kS& x& kS-x\\ 2027& kS-x& k^{2}S-kx& x& k^{2}S-kx-x\\ \dots & \dots & \dots & x& \dots \\ 2029& \dots & \dots & x& 0\end{array}$$

    После четвёртого платежа долг равен нулю:

    $$k^{4}S-k^{3}x-k^{2}x-kx-x=0\Rightarrow k^{4}S=x\left(k^3+k^2+k+1\right).$$

    Свернём сумму в скобках по формуле суммы геометрической прогрессии и выразим $S$:

    $$k^3+k^2+k+1=\frac{k^4-1}{k-1}\Rightarrow S=\frac{x\left(k^4-1\right)}{k^4(k-1)}.$$

    Подставим $k=\frac{5}{4}$:

    $$S=x\cdot \frac{\frac{5^4}{4^4}-1}{\frac{5^4}{4^4}\cdot \frac{1}{4}}=x\cdot \frac{5^4-4^4}{5^4}\cdot 4=x\cdot \frac{4\cdot 369}{625}=x\cdot \frac{1476}{625}.$$

    Так как $93750:625=150$, получаем

    $$S=150\cdot 1476=221400\text{ рублей}.$$

    Ответ: $221400$.

    Ответ: 221400

Часть 2

1. 14

   а) Решите уравнение

   $$2\sin (x+\frac{\pi }{6})-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}.$$

   б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5\pi }{2};-\pi ]$.

   Решение

   а) Уравнение определено при всех $x$.

   Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

   $$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x.$$

   Значит, $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$. Подставим в уравнение:

   $$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}\iff \sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\sqrt{3}=0.$$

   Разделим обе части на $\sqrt{3}\ne 0$:

   $$\sin x-2{\cos }^{2}x+2=0.$$

   По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

   $$\sin x-2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+2=0\iff 2{\sin }^{2}x+\sin x=0\iff \sin x\left(2\sin x+1\right)=0.$$

   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

   Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности, серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка IV четверти, серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка III четверти.

   б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$. Число $-\frac{5\pi }{2}$ отвечает нижней точке окружности, число $-\pi$ — левой. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($-2\pi$) и верхнюю ($-\frac{3\pi }{2}$) до левой и покрывает IV, I и II четверти.

   

   Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают правая точка $-2\pi$ и левая $-\pi$ (правый конец): соседние значения $-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$.

   Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только точка IV четверти $-2\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{6}>-\pi$.

   Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ даёт точку III четверти, которую дуга не покрывает: $-\frac{17\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{6}>-\pi$.

   На отрезке лежат $-\frac{13\pi }{6}$, $-2\pi$, $-\pi$.

   Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{6}$; $-2\pi$; $-\pi$.

   Критерии

   • 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
   • 1 балл — обоснованно получен верный ответ в пункте а) или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но есть верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
2. 15

   В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN=3NS$.

   а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.

   б) Найдите отношение $BL:LC$.

   Решение

   

   а) Отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим её $\beta$: в ней лежат все четыре точки $M$, $K$, $N$, $L$.

   Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $\beta$ и в плоскости грани $SAB$, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $MN$. Точки $K$ и $L$ лежат в плоскости $\beta$ и в плоскости грани $SBC$, поэтому эти плоскости пересекаются по прямой $KL$. Сами грани $SAB$ и $SBC$ пересекаются по прямой $SB$.

   Докажем, что $MN$ не параллельна $SB$. Если бы $MN\parallel SB$, то по теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике $SAB$ было бы

   $$\frac{AN}{NS}=\frac{AM}{MB}=1,$$

   а по условию $AN:NS=3$. Значит, прямые $MN$ и $SB$, лежащие в одной плоскости $SAB$, пересекаются. Обозначим точку пересечения $R$.

   Точка $R$ лежит на $MN$, то есть в плоскости $\beta$, и на $SB$, то есть в плоскости $SBC$. Значит, $R$ лежит на линии пересечения этих плоскостей — прямой $KL$. Итак, прямые $MN$, $KL$ и $SB$ проходят через одну точку $R$, что и требовалось доказать.

   б) По теореме Менелая для треугольника $SAB$ и прямой $MNR$:

   $$\frac{AN}{NS}\cdot \frac{SR}{RB}\cdot \frac{BM}{MA}=1\Rightarrow 3\cdot \frac{SR}{RB}\cdot 1=1\Rightarrow \frac{BR}{RS}=3.$$

   По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $RKL$ (учитываем, что $K$ — середина $SC$):

   $$\frac{BR}{RS}\cdot \frac{SK}{KC}\cdot \frac{CL}{LB}=1\Rightarrow 3\cdot 1\cdot \frac{CL}{LB}=1\Rightarrow \frac{BL}{LC}=3.$$

   Ответ: б) $3:1$.

   Критерии

   • 3 балла — имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
   • 2 балла — обоснованно получен верный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
   • 1 балл — имеется верное доказательство пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а) без его доказательства
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
3. 16

   Решите неравенство $3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}+x^4-10\ge 0$.

   Решение

   Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

   $$4-x^2>0\iff x^2-4<0\iff (x-2)(x+2)<0.$$

   

   ОДЗ: $x\in (-2;2)$.

   На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$):

   $$3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}=4-x^2.$$

   Неравенство принимает вид

   $$4-x^2+x^4-10⩾0\iff x^4-x^2-6⩾0.$$

   Сделаем замену $y=x^2$, $y⩾0$:

   $$y^2-y-6⩾0.$$

   Корни трёхчлена по теореме, обратной теореме Виета (сумма $1$, произведение $-6$), — $3$ и $-2$, поэтому неравенство запишется как $(y-3)(y+2)⩾0$. Решим методом интервалов, нули закрашиваем:

   

   Получаем $y⩽-2$ или $y⩾3$. Но $y=x^2⩾0$, поэтому случай $y⩽-2$ невозможен. Остаётся

   $$x^2⩾3\iff \left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)⩾0.$$

   

   Получаем $x⩽-\sqrt{3}$ или $x⩾\sqrt{3}$.

   Пересечём с ОДЗ $(-2;2)$. Так как $3<4$, имеем $\sqrt{3}<2$ и $-2<-\sqrt{3}$. Остаётся $-2<x⩽-\sqrt{3}$ или $\sqrt{3}⩽x<2$.

   

   Ответ: $\left(-2;-\sqrt{3}\right]\cup \left[\sqrt{3};2\right)$.

   Критерии

   • 2 балла — обоснованно получен верный ответ
   • 1 балл — обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением или включением граничных точек, или получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
4. 17

   На заводе имеется генератор с ЭДС $\epsilon =50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\frac{\epsilon }{r+R}$. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля–Ленца: $P=I^{2}R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

   Решение

   Составим модель. Подставим силу тока из закона Ома в формулу мощности:

   $$P=I^{2}R={\left(\frac{\epsilon }{r+R}\right)}^{2}R=\frac{{\epsilon }^{2}R}{(r+R{)}^2}.$$

   По условию $\epsilon =50$ В и $r=1$ Ом, поэтому ${\epsilon }^2=2500$ и мощность зависит только от сопротивления нагрузки:

   $$P(R)=\frac{2500R}{(1+R{)}^2}.$$

   Сопротивление нагрузки — положительная величина, поэтому рассматриваем функцию на промежутке $R>0$. Там знаменатель не обращается в ноль, и функция определена. Нужно найти её наибольшее значение на этом промежутке.

   Найдём производную по правилу дифференцирования частного ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, где $u=2500R$, $u^{\prime }=2500$, $v=(1+R{)}^2$. Производную $v$ найдём по правилу дифференцирования сложной функции: $v^{\prime }=2(1+R)\cdot (1+R{)}^{\prime }=2(1+R)$. Получаем

   $$P^{\prime }(R)=\frac{2500\cdot (1+R{)}^2-2500R\cdot 2(1+R)}{(1+R{)}^4}.$$

   Вынесем в числителе общий множитель $2500(1+R)$ и сократим дробь на $1+R\ne 0$:

   $$P^{\prime }(R)=\frac{2500(1+R)\left(1+R-2R\right)}{(1+R{)}^4}=\frac{2500(1-R)}{(1+R{)}^3}.$$

   Найдём нули производной. При $R>0$ знаменатель $(1+R{)}^3$ положителен, поэтому производная существует на всём промежутке и

   $$P^{\prime }(R)=0\iff 1-R=0\iff R=1.$$

   Определим знаки производной. Знак $P^{\prime }$ совпадает со знаком $1-R$: плюс при $0<R<1$ и минус при $R>1$. Например, $P^{\prime }(3)=\frac{2500\cdot (-2)}{64}<0$. Отметим знаки на промежутке $R>0$ (крайний левый промежуток на рисунке — это $(0;1)$):

   

   Значит, функция $P(R)$ возрастает на $(0;1]$ и убывает на $[1;+\infty )$. Поэтому $R=1$ — точка максимума, и при любом другом $R>0$ мощность меньше, чем при $R=1$. Наибольшее значение мощности равно

   $$P(1)=\frac{2500\cdot 1}{(1+1{)}^2}=\frac{2500}{4}=625.$$

   Проверим результат без производной. Перевернём дробь: $\frac{(1+R{)}^2}{R}=R+2+\frac{1}{R}$. По неравенству о средних $R+\frac{1}{R}⩾2$, причём равенство достигается только при $R=1$. Значит, $\frac{(1+R{)}^2}{R}⩾4$ и $P⩽\frac{2500}{4}=625$ — результат совпал.

   Ответ: $625$ Вт.

   Критерии

   • 2 балла — обоснованно получен верный ответ
   • 1 балл — верно построена математическая модель
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
5. 18

   Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.

   а) Докажите, что $\angle OAC=45^{\circ }$.

   б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.

   Решение

   

   а) Боковые стороны треугольника — $AB$ и $BC$, поэтому $AC$ — основание и углы при нём равны. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Треугольник остроугольный, значит, $\angle ABC=180^{\circ }-2\alpha <90^{\circ }$, откуда $\alpha >45^{\circ }$. Кроме того, в остроугольном треугольнике основание высоты лежит на стороне, поэтому точка $H$ лежит на отрезке $AB$.

   Окружность касается отрезка $BH$ (он часть стороны $AB$), стороны $BC$ и высоты $CH$, то есть всех трёх сторон треугольника $BHC$. Значит, это вписанная окружность треугольника $BHC$, а её центр $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. В частности, $CO$ — биссектриса угла $BCH$.

   Найдём углы при вершине $C$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ ($\angle AHC=90^{\circ }$) сумма острых углов равна $90^{\circ }$:

   $$\angle ACH=90^{\circ }-\angle CAH=90^{\circ }-\alpha .$$

   Луч $CH$ лежит внутри угла $ACB$, поэтому

   $$\angle BCH=\angle BCA-\angle ACH=\alpha -(90^{\circ }-\alpha )=2\alpha -90^{\circ }.$$

   Биссектриса $CO$ делит этот угол пополам:

   $$\angle HCO=\frac{2\alpha -90^{\circ }}{2}=\alpha -45^{\circ }.$$

   Луч $CO$ лежит внутри угла $HCB$, значит, луч $CH$ проходит между лучами $CA$ и $CO$, и углы складываются:

   $$\angle OCA=\angle ACH+\angle HCO=(90^{\circ }-\alpha )+(\alpha -45^{\circ })=45^{\circ }.$$

   Теперь перейдём к вершине $A$. Окружность касается обеих сторон угла $ABC$, поэтому её центр равноудалён от сторон этого угла и лежит на его биссектрисе. В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой, то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому $OA=OC$.

   Треугольник $AOC$ равнобедренный, углы при его основании $AC$ равны:

   $$\angle OAC=\angle OCA=45^{\circ }.$$

   Что и требовалось доказать.

   б) Пусть $D$ — середина основания $AC$. Как мы выяснили в пункте а), отрезок $BD$ — биссектриса, медиана и высота треугольника $ABC$, поэтому $BD\perp AC$ и центр $O$ лежит на прямой $BD$. Точка $O$ находится внутри треугольника $BHC$, а значит, и внутри треугольника $ABC$, поэтому она лежит на отрезке $BD$ между точками $B$ и $D$.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$ ($\angle ADO=90^{\circ }$). По пункту а) $\angle OAD=45^{\circ }$, тогда и $\angle AOD=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Треугольник $AOD$ равнобедренный, поэтому

   $$OD=AD=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

   Тогда

   $$BD=BO+OD=1+3=4.$$

   По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BDC$ с катетами $BD=4$ и $DC=3$:

   $$BC=\sqrt{B{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5.$$

   Проверим, что треугольник со сторонами $AB=BC=5$, $AC=6$ действительно остроугольный. Углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые, а угол $B$ острый, так как $A{C}^2=36<A{B}^2+B{C}^2=50$. Значит, условие выполнено.

   Ответ: б) $5$.

   Критерии

   • 3 балла — имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
   • 2 балла — обоснованно получен верный ответ в пункте б) или имеется верное доказательство пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
   • 1 балл — имеется верное доказательство пункта а), или при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, или обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а) без его доказательства
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
6. 19

   Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

   $${(3x+|x-a|+|2x+a+1|)}^2-a(3x+|x-a|+|2x+a+1|)+a^2-16=0$$

   имеет ровно один корень.

   Решение

   Обозначим $g(x)=3x+|x-a|+|2x+a+1|$ и сделаем замену $t=g(x)$. Уравнение примет вид

   $$t^2-at+a^2-16=0.(1)$$

   Исследуем функцию $g$. Она непрерывна и кусочно-линейна. На каждом промежутке, где модули раскрываются с постоянными знаками, её угловой коэффициент равен $3\pm 1\pm 2$, то есть одному из чисел $6$, $4$, $2$, $0$. Нулевой коэффициент получается, только если оба модуля раскрываются с минусом: $x<a$ и $2x+a+1<0$, то есть при $x<p$, где $p=\min \left(a;-\frac{a+1}{2}\right)$. На этом луче

   $$g(x)=3x-(x-a)-(2x+a+1)=-1.$$

   При $x>p$ хотя бы один модуль раскрывается с плюсом, и угловой коэффициент равен $2$, $4$ или $6$ — он положителен. Значит, $g(x)=-1$ на луче $(-\infty ;p]$, а на $[p;+\infty )$ функция строго возрастает от $-1$ до $+\infty$.

   

   Отсюда для каждого корня $t$ уравнения (1):

   • если $t<-1$, уравнение $g(x)=t$ корней не имеет;
   • если $t=-1$, корней бесконечно много (весь луч $x⩽p$);
   • если $t>-1$, корень ровно один (функция непрерывна и строго возрастает на $[p;+\infty )$).

   Поэтому исходное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда уравнение (1) имеет ровно один корень, больший $-1$, а число $-1$ его корнем не является. Это происходит в двух случаях: корни уравнения (1) лежат по разные стороны от $-1$, или уравнение (1) имеет единственный (двойной) корень, больший $-1$.

   Пусть $h(t)=t^2-at+a^2-16$ — квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх.

   Случай 1: корни по разные стороны от $-1$. Это равносильно условию $h(-1)<0$ (тогда дискриминант положителен автоматически):

   $$1+a+a^2-16<0;a^2+a-15<0.$$

   Корни трёхчлена $a^2+a-15$: $a=\frac{-1\pm \sqrt{1+60}}{2}=\frac{-1\pm \sqrt{61}}{2}$.

   

   Получаем $a\in \left(\frac{-1-\sqrt{61}}{2};\frac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)$.

   Случай 2: двойной корень больше $-1$. Двойной корень бывает при нулевом дискриминанте: $D=a^2-4\left(a^2-16\right)=64-3a^2=0$, $a=\pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. Этот корень равен $t_0=\frac{a}{2}$, и условие $t_0>-1$ означает $a>-2$. Подходит только $a=\frac{8}{\sqrt{3}}$. При $a=-\frac{8}{\sqrt{3}}$ корень $t_0=-\frac{4}{\sqrt{3}}<-1$, и исходное уравнение корней не имеет.

   Остальные значения не подходят. При $h(-1)=0$ число $t=-1$ — корень уравнения (1), и исходное уравнение имеет бесконечно много корней. При $h(-1)>0$ и $D>0$ оба корня уравнения (1) лежат по одну сторону от $-1$: если оба больше $-1$, корней $x$ два, если оба меньше — ни одного. При $D<0$ корней нет.

   Значение $\frac{8}{\sqrt{3}}$ не входит в промежуток из случая 1: $\frac{8}{\sqrt{3}}>4$, так как $64>48$, а $\frac{-1+\sqrt{61}}{2}<4$, так как $\sqrt{61}<9$.

   

   Ответ: $a\in \left(\frac{-1-\sqrt{61}}{2};\frac{-1+\sqrt{61}}{2}\right)\cup \left\{\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}$.

   Критерии

   • 4 балла — обоснованно получен верный ответ
   • 3 балла — с помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого конечным числом точек
   • 2 балла — с помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений параметра
   • 1 балл — верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений параметра
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше
7. 20

   На доске написано $n$ единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: $1+1+111+11+11+1=136$.

   а) Можно ли получить сумму 113, если $n=50$?

   б) Можно ли получить сумму 114, если $n=50$?

   в) Какую наибольшую четырёхзначную сумму можно получить, если $n=50$?

   Решение

   После расстановки плюсов сумма состоит из слагаемых вида $1$, $11$, $111$, $1111$, … Слагаемое из $k$ единиц использует ровно $k$ единиц с доски. Порядок слагаемых может быть любым, поэтому важно только, сколько слагаемых каждого вида.

   Пусть в сумме $x$ слагаемых $1$, $y$ слагаемых $11$, $z$ слагаемых $111$, $w$ слагаемых $1111$ и так далее. Всего на доске $50$ единиц, поэтому

   $$x+2y+3z+4w+\dots =50.$$

   а) Возьмём $36$ слагаемых $1$ и $7$ слагаемых $11$:

   $$\underset{7\text{слагаемых}}{\underbrace{11+11+\dots +11}}+\underset{36\text{слагаемых}}{\underbrace{1+1+\dots +1}}=7\cdot 11+36=77+36=113.$$

   Использовано единиц: $7\cdot 2+36\cdot 1=14+36=50$ — ровно столько, сколько написано. Значит, сумму $113$ получить можно.

   б) Предположим, что сумма $114$ получилась. Слагаемые $1111$ и больше превосходят $114$, поэтому их нет, и в сумме участвуют только $1$, $11$ и $111$:

   $$\{\begin{array}{l}x+11y+111z=114,\\ x+2y+3z=50.\end{array}$$

   Вычтем из первого уравнения второе:

   $$9y+108z=64.$$

   Левая часть делится на $9$, а $64$ на $9$ не делится. Противоречие, значит, сумму $114$ получить нельзя.

   в) Оценка. Пусть сумма четырёхзначная, то есть не больше $9999$.

   Слагаемых из пяти и более единиц нет: каждое из них не меньше $11111>9999$. Значит, в сумме участвуют только $1$, $11$, $111$ и $1111$, и

   $$x+2y+3z+4w=50.$$

   Покажем, что $w⩽8$. Так как $1111w⩽9999$, то $w⩽9$. Если $w=9$, то слагаемые $1111$ используют $36$ единиц и дают $9999$, а оставшиеся $14$ единиц дают ещё хотя бы $14$ (слагаемое из $k$ единиц не меньше $k$). Тогда сумма не меньше $9999+14=10013$ — пятизначная. Значит, $w⩽8$.

   Теперь оценим вклад слагаемых $1$, $11$, $111$. На одну использованную единицу слагаемое $1$ даёт $1$, слагаемое $11$ даёт $\frac{11}{2}=5,5$, а слагаемое $111$ даёт $\frac{111}{3}=37$. Поэтому

   $$x+11y+111z⩽37x+37\cdot 2y+37\cdot 3z=37(x+2y+3z)=37(50-4w).$$

   Значит, вся сумма не больше

   $$1111w+37(50-4w)=1111w+1850-148w=963w+1850⩽963\cdot 8+1850=7704+1850=9554.$$

   Пример. Возьмём $8$ слагаемых $1111$ и $6$ слагаемых $111$:

   $$\underset{8\text{слагаемых}}{\underbrace{1111+\dots +1111}}+\underset{6\text{слагаемых}}{\underbrace{111+\dots +111}}=8888+666=9554.$$

   Использовано единиц: $8\cdot 4+6\cdot 3=32+18=50$. Сумма $9554$ четырёхзначная, значит, оценка достигается.

   Ответ: а) да; б) нет; в) $9554$.

   Критерии

   • 4 балла — верно получены все четыре результата из критерия на 1 балл
   • 3 балла — верно получены три результата из критерия на 1 балл
   • 2 балла — верно получены два результата из критерия на 1 балл
   • 1 балл — верно получен один из результатов: обоснованное решение пункта а); обоснованное решение пункта б); искомая оценка в пункте в); пример в пункте в), доказывающий точность оценки
   • 0 баллов — решение не соответствует ни одному из критериев выше